Решение квадратных уравнений при помощи Excel

Автор: Картышев Алексей

11.11.2022

Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов. Необходимость решать уравнения не только первой, но и вто­рой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Я задался вопросом. А можно ли использовать компьютер для быстрого решения квадратного и биквадратного уравнений и как это сделать?

Изучая информатику, мы сталкиваемся с необходимостью решения различных задач в Microsoft Excel. Как же научиться быстро, и главное, эффективно пользоваться Microsoft Excel.? Какие существуют профессиональные методы решения задач в Microsoft Excel? Ведь задачи надо уметь решать быстро и эффективно. А это надо уметь.

История создания программы MS Excel

Первая электронная таблица, явившаяся прототипом программы Excel, появилась в 1979 году. Ее создал студент Гарварда - Дэн Бриклин. Студентам приходится делать множество математических расчетов, и Бриклин считал это занятие слишком утомительным и трудозатратным. Электронная таблица получила название VisiCalc и сразу обрела популярность. Ее первая версия предназначалась для компьютеров Apple.

Новый существенный шаг в развитии электронных таблиц - появление в 1982 г. на рынке программных средств Lotus 1-2-3 для ком­пьютеров типа IBM. Lotus был первым табличным процессором, интегрировавшим в своем составе, помимо обычных инструментов, графику и возможность работы с системами управления базами данных.

Следующий шаг - появление в 1987 г. табличного процессора Excel фирмы Microsoft , Эта программа предложила более простой графический интерфейс в комбинации с ниспадающими меню, значительно расширив при этом функциональные возможности пакета и повысив качество выходной информации. Однако расширение спектра функциональных возможностей электронной таблицы усложнило работу с программой.

Позже разработчикам Excel удалось найти золотую середину, максимально облегчив пользо­вателю освоение программы и работу с ней. Благодаря этому Excel быстро завоевала попу­лярность среди широкого круга пользователей. В настоящее время, несмотря на выпуск компанией Lotus новой версии электронной таблицы, в которой использована трехмерная таблица с улучшенными возможностями, Excel занимает ведущее место на рынке таблич­ных процессоров.

Функции в MS Excel

Функция в Excel – это предустановленная формула, которая выполняет вычисления, используя заданные значения в определенном порядке. С помощью функций можно ускорять выполнение задач, упрощать формулы и реализовывать вычисления, которые невозможно было бы выполнить без их использования. Чтобы правильно использовать функции, вам необходимо понять их синтаксис.

К базовому синтаксису функции относятся знак равенства (=), имя функции и один или более аргументов. Аргументы содержат информацию, которую необходимо вычислить.

Типичные функции:

  1. СУММ – суммирует значения всех аргументов.
  2. СРЗНАЧ – определяет среднее арифметическое величин, содержащихся в аргументах.
  3. СЧЁТ – подсчитывает количество чисел в списке аргументов. Функция полезна для быстрого подсчета числа элементов в диапазоне.
  4. МАКС – определяет максимальное значение из списка аргументов.
  5. МИН – определяет минимальное значение из списка аргументов.

В Microsoft Excel имеются сотни самых различных функций, которые делятся по категориям. Но наиболее интересные функции — математические, ведь с их помощью можно решать математические задачи, что необходимо при подготовке к урокам математики и информатики.

Наиболее необходимые это:

  1. ОКРУГЛ — округляет число до указанного разряда.
  2. ОТБР — усекает чило до указанного количества знаков после запятой.
  3. ОКРУГЛВВЕРХ — округляет число до ближайшего большего по модулю числа с указанной точностью.
  4. ОККУГЛВНИЗ — округляет число до ближайшего меньшего по модулю числа с указанной точностью.
  5. ОКРУГЛТ — округляет число до ближайшего кратного числу, заданного вторым аргументом.
  6. ЦЕЛОЕ — округляет число до целого в меньшую сторону.
  7. ЧЁТН — округляет число до ближайшего большего по модулю четного числа.
  8. НЕЧЁТ — округляет число до ближайшего большего по модулю четного числа.
  9. СУММ — суммирует аргументы.
  10. СУММПРОИЗВ - суммирует произведения массивов либо диапазонов.
  11. СУММЕСЛИ — суммирует числа соответствующие условию.
  12. КОРЕНЬ — извлекает квадратный корень.
  13. СЛЧИС — возвращает случайно сгенерированное число от 0 до 1.
  14. СЛУЧМЕЖДУ — возвращает случайно сгенерированное число в указанных пределах.
  15. ЧИСЛКОМБ — возвращает возможное число уникальных комбинаций для определенного количества элементов из общего набора элементов.
  16. ФАКТР — возвращает факториал числа.
  17. ЧАСТНОЕ — возвращает результат деления.
  18. ОСТАТ — возвращает остаток от деления.
  19. НОД — возращает наибольший общий делитель.
  20. НОК — возвращает наименьше общее кратное.
  21. ABS — возвращает модуль числа.
  22. РИМСКОЕ — преобразует число в строку, представляющую римское число.
  23. ЗНАК — проверяет знак числа и возвращает значение.
  24. ПИ — возвращает число пи, округленное до 14 знаков после запятой.
  25. ПРОИЗВЕД — возвращает произведение своих аргументов.

Решение квадратных уравнений

Существует два способа решения квадратных уравнений — через дискриминант и по теореме Виета.

Алгоритм решения квадратного уравнения через дискриминант:

  1. Записываем уравнение в стандартном виде.

    В общем виде квадратное уравнение можно записать так: ax2+bx+c=0

    Здесь a - любое ненулевое число, b,c - любые числа, a x - то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным.

    Например, 2x2-10x+20=0 - квадратное уравнение в стандартном виде, причем a=2, b=-10 и c=20. Число a называют старшим коэффициентом, число c - свободным коэффициентом.

  2. Находим дискриминант.

    У нас есть квадратное уравнение в виде ax2+bx+c=0.

    Вычисляем число D=b2-4ac, которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения 2x2-3x+1=0 дискриминант равен D=(-3)2-4*2*1=9-8=1.

  3. Находим корни уравнения

    У нас есть дискриминант D. Далее все зависит от его знака.

    Если D>=0, то

    1. x1 = (-b + D1:2):2a
    2. x2 = (-b - D1:2):2a

Если D<0, то действительных корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении x2-x+1=0 дискриминант равен -3<0. Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение x2-x+1 вместо x никогда не даст 0. Проверим число 2, например: 22-2+1=4-2+1=3. Не ноль. То есть 2 не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Если D=0, тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

Франсуа Виет заметил некоторую закономерность между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Сегодня эта теорема в школьном учебнике алгебры звучит так: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором коэффициент a = 1.

Тогда:

  1. ub>1 + x2 = -b
  2. ub>1 * x2 = c

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант нам не потребовался.

С помощью вышеупомянутых функций попробуем создать программу для решения квадратных уравнений в MS Excel.

Решение квадратного уравнения в MS Excel через дискриминант

Итак, моя задача сводилась к следующему: по известным коэффициентам квадратного уравнения вычислить дискриминант, сделать вывод о наличии корней и, если корни есть, найти их.

В электронной таблице пользователю предоставляется возможность ввести любые коэффициенты квадратного уравнения. Благодаря введенным формулам в ЭТ вычисляется дискриминант и корни квадратного уравнения, если таковы имеются.

Ниже представлена технология решения квадратного уравнения 5х2 - 8х + 2 = 0 в MS Excel:

  1. Создадим шаблон ввода коэффициентов квадратного уравнения.
  2. В ячейки А6, Е6 и H6 вводим соответствующие значения коэффициентов: 5; -8; 2.
  3. В ячейку В10 вводим формулу дискриминанта =E62-4*A6*H6
  4. Определим, имеет ли квадратное уравнение действительные корни. В ячейку А13 напишем формулу =ЕСЛИ(B10>0;"уравнение имеет два действительных корня";ЕСЛИ(B10<0;"уравнение не имеет действительных корней";"уравнение имеет два совпадающих корня"))
  5. class="paragraph-container__list">

    5. Определим корни квадратного уравнения:

  6. В ячейку А14 вводим формулу =ЕСЛИ(B10>=0;"x1=";"");
  7. В ячейку G14 вводим формулу =ЕСЛИ(B10>=0;"x2=";"");
  8. В ячейку B14 вводим формулу =ЕСЛИ(B10>=0;(-E6+КОРЕНЬ(B10))/(2*A6);"");
  9. В ячейку <>H14> вводим формулу =ЕСЛИ(B10>=0;(-E6-КОРЕНЬ(B10))/(2*A6);"");

К сожалению реализовать решение квадратного уравнения с помощью теоремы Виета в MS Excel невозможно.